Materi Kalkulus-1 INTEGRAL PECAHAN PARSIAL

Pada bentuk integral pecahan parsial ini, pembilangnya bukan merupakan koefisien diferensial dari penyebutnya (bukan merupakan turunan dari penyebutnya) Jadi pemecahannya tidak dapat dilakukan dengan cara integral pecahan yang pembilangnya merupakan turunan dari penyebut, sebagaimana kita bahas sebelumnya.

Contoh :

1. ∫ x2(x + 1)(x − 1)2dx

2. ∫ 2x(x + 2)3 dx

3. ∫x(x − 1)(x + 2)3 dx

Langkah-langkah penyelesaian Integral Pecahan Parsial :

1. Pastikan bahwa pembilang bukan merupakan turunan dari penyebut dan mempunyai derajat/ pangkat lebih rendah dari penyebutnya.

2. Faktorkan penyebut menjadi faktor-faktor prima, hal ini akan menentukan bentuk pecahan parsialnya sebagai berikut :

2.1. Faktor linear akan memberi pecahan parsial yang berbentuk :

Aax + b

2.2. Faktor akan memberi pecahan parsial yang berbentuk :

Aax + b + B(ax + b)2

2.3. Faktor akan memberi pecahan parsial yang berbentuk :

Aax + b + B(ax + b)2 + C(ax + b)3

2.4. Faktor kuadrat akan memberi pecahan parsial yang berbentuk :

Ax + Bax2 + bx + c

3. Jika penyebutnya sudah membentuk faktor-faktor prima, selanjutnya tinggal menentukan bentuk pecahan parsialnya mengikuti keentuan 2.1 – 2.4 sehingga membentuk persamaan dimana ruas kirinya adalah fungsi dalam soal dan ruas kanan merupakan pecahan parsial yang terbentuk.

4. Kalikan kedua ruas persamaan pada langkah 3 tersebut dengan penyebut di ruas kiri.

5. Cari konstanta-konstanta (A, B, C, …..dst) pada persamaan langkah 4 dengan memisalkan salah satu suku dalam persamaan tersebut sama dengan nol (= 0) sehingga akan diperoleh nilai x, kemudian nilai x yang didapat dimasukkan ke persamaan langkah 4 sehin gga akan diperoleh harga/nilai salah satu konstanta.

6. Lakukan hal yang sama dengan langkah 5 tersebut dengan suku persamaan yang lain pada persamaan langkah 4 untuk memperoleh konstanta yang lain.

7. Jika masih ada konstanta yang belum diperoleh, sementara semua suku dalam persamaan sudah digunakan, maka konstanta lain dicari dengan menyamakan koefisien pada persamaan langkah 4, dimulai dengan koefisien pangkat tertinggi ke pangkat terendah, demikian seterusnya sampai seluruh konstanta ketemu nilainya.

8. Setelah seluruh konstanta diperoleh, selanjutnya masukkan konstanta tersebut ke persamaan pada langkah 3.

9. Formatkan persamaan pada langkah 8 tersebut dalam fungsi Integral, selanjutnya dicari nilai Integralnya, dan itulah hasil akhir dari integral pecahan parsial yang sebenarnya.

CONTOH PENYELESAIAN SOAL INTEGRAL PECAHAN PARSIAL KALKULUS 1

Selesaikan:

∫ x2(x + 1)(x − 1)2dx

Panduan :

1. Soal diatas sudah jelas bahwa pembilang bukan merupakan turunan dari penyebut dan mempunyai derajat/ pangkat lebih rendah dari penyebutnya.

2. Faktor prima dari penyebut masuk katagori : kombinasi bentuk 2.1 dan 2.2, sehingga bentuk pecahannya di ruas kanan adalah : = A(x + 1) + B(x − 1) + C(x − 1)2

3. Dari bentuk pecahan ruas kanan pada langkah 2 tersebut maka diperoleh :

x2(x + 1)(x − 1)2 = A(x + 1) + B(x − 1) + C(x − 1)2

4. Selanjutnya kalikan kedua ruas persamaan tersebut dengan penyebut di ruas kiri yaitu :

x2(x + 1)(x − 1)2(x + 1)(x − 1)2 = A(x + 1)(x + 1)(x − 1)2 + B(x − 1)(x + 1)(x − 1)2 + C(x − 1)2(x + 1)(x − 1)2

Selanjutnya lakukan eliminasi sehingga diperoleh persamaan :

x2 = A(x − 1)2 + B(x + 1)(x − 1) + C(x + 1)

5. Tentukan A dan B dengan cara memisalkan suku-suku dalam persamaan langgah 4 secara bergantian sebagai berikut : Misal : (x-1) = 0 maka x = 1

Masukkan harga x tersebut ke persamaan langkah 4 sehingga :

11 = A(1 − 1)2 + B(1 + 1)(1 − 1) + C(1 + 1)

1 = A(0) + B(2)(0) + C(2)

1=2C...Diperoleh: C = 1⁄2

Lakukan pemisalan atas suku yang lain dari persamaan langkah 4 untuk mecari konstanta B :

Misal : (x + 1) = 0..sehinggax = − 1

Masukkan harga x tersebut ke persamaan langkah 4 sehingga :

− 11 = A( − 1 − 1)2 + B( − 1 + 1)( − 1 − 1) + C( − 1 + 1)

1 = A( − 2)2 + B(0)( − 2) + C(0)

1 = 4A + 0 + 0...Diperoleh:1 = 4A, jadi A = 1⁄4

Masih ada konstanta yang belum diperoleh harga/nilai yaotu konstanta B. Harga konstanta B dicari dengan menggunakan cara penyamaan koefisien pada persamaan langkah 4 dimulai dari pangkat tertinggi : Persamaan langkah 4 :

x2 = A(x − 1)2 + B(x + 1)(x − 1) + C(x + 1)

Persamaan tersebut dijabarkan sehingga menjadi :